Penyederhanaan Rational Distance Problem dengan Pendekatan Geometri Analitik

Abstract

Salah satu masalah yang belum terpecahkan dalam teori bilangan dan geometri adalah rational distance problem. Masalah ini pertama kali dipublikasikan oleh Richard K. Guy dalam bukunya yang berjudul Unsolved Problems in Number Theory, yaitu dalam bidang yang sama dengan suatu persegi satuan, apakah terdapat suatu titik yang berjarak rasional terhadap keempat titik sudut persegi tersebut. Paper ini tidak bertujuan membuktikan atau menyanggah keberadaan titik ini, namun paper ini bertujuan mengkaji dan menemukan kasus spesifik mengenai masalah ini. Dalam paper ini, penulis menggunakan pendekatan geometri analitik, prinsip paritas, dan kongruensi modulo. Kontruksi dibangun pada bidang kartesius dengan mengasumsikan terdapat suatu titik P(a,b) di dalam atau di luar persegi satuan dengan koordinat (0,0), (0,1), (1,0), dan (1,1). Dengan kondisi tersebut, haruslah a dan b rasional. Dengan menggunakan rumus jarak, prinsip paritas, serta kongruensi modulo 4 dan modulo 8, ditemukan bahwa sebagian besar kasus yang mungkin dalam kontruksi ini berakhir dengan kontradiksi. Hasilnya ditemukan satu kasus spesifik tentang keberadaan titik ini yang tidak kontradiksi dengan beberapa fakta yang diperoleh atau dikonstruksikan sebelumnya. Kasus spesifik yang diperoleh adalah persegi satuan dan titik tersebut dapat dikenai suatu transformasi sedemikian sehingga jarak antara titik tersebut terhadap keempat titik sudut persegi satuan yang telah ditransformasi merupakan bilangan ganjil, serta panjang sisi dari persegi setelah ditransformasi merupakan bilangan genap kelipatan 4. Untuk mengkaji kasus spesifik ini lebih lanjut, diperlukan konsep lain seperti konsep Primitive Pythagorean Triple yang dapat dibangun dari dua bilangan asli yang relatif prima beserta sifat-sifatnya dan beberapa kasus khusus yang dapat ditimbulkan akibat hasil yang diperoleh sebelumnya.